\section{Bestemmelse af tilstandsform}
\label{moderneregulering-bestemmelseaftilstandsform}
Modellerne for systemet, som er blevet bestemt i kapitel \ref{modelbestemmelse}, er opstillet i frekvensdomænet, hvilket gør at de benyttes direkte til den klassiske regulering i kapitel \ref{klassiskregulering}. For at modellerne kan benyttes til den moderne regulering omskrives de til tilstandsform.\\\\
De tre bestemte modeller; $G_{\theta_\text{last}}(s)$, $G_{\dot{X}_\text{slæde}}(s)$ og $G_{\dot{Y}_\text{last}}(s)$ kan opskrives som lineære differentialligninger som vist i henholdsvis ligning \eqref{eq:ss-diff-ddtheta}, \eqref{eq:ss-diff-uex} og \eqref{eq:ss-diff-uey}.
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\label{eq:ss-diff-ddtheta}
\ddot{\theta}_\text{last}(t) = -\mathcal{K}_1 \cdot \dot{\theta}_\text{last}(t) - \mathcal{K}_2 \cdot \theta_\text{last}(t) - \mathcal{K}_3 \cdot \ddot{x}_\text{slæde}(t)\\
\nonumber\\
\label{eq:ss-diff-uex}
u_\text{e,x}(t) = \mathcal{K}_4 \cdot \ddot{x}_\text{slæde}(t) + \mathcal{K}_5 \cdot \dot{x}_\text{slæde}(t) - \mathcal{K}_6 \cdot \theta_\text{last}(t)\\
\nonumber\\
\label{eq:ss-diff-uey}
u_\text{e,y}(t) = \mathcal{K}_7 \cdot \ddot{l}_\text{s}(t) + \mathcal{K}_8 \cdot \dot{l}_\text{s}(t)
\end{IEEEeqnarray}
\begin{tabbing}
Hvor: \= $\mathcal{K}_1 = \frac{\psi}{M_\text{last} \cdot \bar{l}_\text{s}^2}$ \\
\> $\mathcal{K}_2 = \frac{g}{\bar{l}_\text{s}}$ \\
\> $\mathcal{K}_3 = \frac{1}{\bar{l}_\text{s}}$ \\
\> $\mathcal{K}_4 = \frac{J_\text{total,x} \cdot R_\text{e,x}}{K_\text{e,x}}$ \\
\> $\mathcal{K}_5 = \frac{B_\text{total,x} \cdot R_\text{e,x} \cdot N_\text{x} \cdot r_\text{5,x} + K_\text{e,x}^2}{K_\text{e,x} \cdot N_\text{x} \cdot r_\text{5,x}}$ \\
\> $\mathcal{K}_6 = \frac{M_\text{last} \cdot R_\text{e,x} \cdot N_\text{x} \cdot r_\text{5,x} \cdot g}{K_\text{e,x}}$ \\
\> $\mathcal{K}_7 = \frac{J_\text{gear,y}\cdot R_\text{e,y}  + M_\text{last,y} \cdot R_\text{e,y} \cdot N_\text{y}^2 \cdot r_\text{5,y}^2}{K_\text{e,y} \cdot N_\text{y} \cdot r_\text{5,y}}$\\
\> $\mathcal{K}_8 = \frac{B_\text{gear,y} \cdot \frac{R_\text{e,y}}{K_\text{e,y}} + K_\text{e,y}}{N_\text{y} \cdot r_\text{5,y}}$
\end{tabbing}
Med henblik på en tilstandsbeskrivelse omskrives ligning \eqref{eq:ss-diff-ddtheta}, \eqref{eq:ss-diff-uex} og \eqref{eq:ss-diff-uey} til at udtrykke deres højest afledte, som er vist i henholdsvis ligning \eqref{eq:diff-ddtheta}, \eqref{eq:diff-ddx} og \eqref{eq:diff-ddl}.
\begin{IEEEeqnarray}{c}
\hspace{-25pt}
\label{eq:diff-ddtheta}
\ddot{\theta}_\text{last}(t) = -\mathcal{K}_1 \cdot \dot{\theta}_\text{last}(t) - \mathcal{K}_2 \cdot \theta_\text{last}(t) - \frac{\mathcal{K}_3}{\mathcal{K}_4} \cdot u_\text{e,x}(t) + \frac{\mathcal{K}_3 \cdot \mathcal{K}_5}{\mathcal{K}_4} \cdot \dot{x}_\text{slæde}(t) - \frac{\mathcal{K}_3 \cdot \mathcal{K}_6}{\mathcal{K}_4} \cdot \theta_\text{last}(t)\\
\nonumber\\
\label{eq:diff-ddx}
\ddot{x}_\text{slæde}(t) = \frac{1}{\mathcal{K}_4} \cdot u_\text{e,x}(t) - \frac{\mathcal{K}_5}{\mathcal{K}_4} \cdot \dot{x}_\text{slæde}(t) + \frac{\mathcal{K}_6}{\mathcal{K}_4} \cdot \theta_\text{last}(t) \\
\nonumber\\
\label{eq:diff-ddl}
\ddot{l}_\text{s}(t) = \frac{1}{\mathcal{K}_7} \cdot u_\text{e,y}(t) - \frac{\mathcal{K}_8}{\mathcal{K}_7} \cdot \dot{l}_\text{s}(t)
\end{IEEEeqnarray}
Ligning \eqref{eq:ss-diff-ddtheta} afhænger af $\ddot{x}_\text{slæde}(t)$ hvilket erstattes med udtrykket i ligning \eqref{eq:diff-ddx} for at undgå et ekstra tilstand.\\
Differentialligningerne skal benyttes til at danne systemmatricen, \textbf{A}, hvilket kræver en definition af tilstandsvektoren, \textbf{x}. Derfor bestemmes \textbf{x}, \textbf{u} og \textbf{y} først. Systemets tilstandsvektor, som er vist i ligning \eqref{eq:tilstandsvektor}, vælges ud fra tommelfingerreglen om, at den skal indeholde de relevante elementer i systemet der indeholder energi. Den indeholder derfor både positioner og hastigheder, da disse beskriver de potentielle og kinetiske energier. Hastighederne er givet direkte ved $\dot{\theta}_\text{last}$, $\dot{x}_\text{slæde}$ og $\dot{l}_\text{s}$, hvorimod positionerne er givet gennem vinklen $\theta_\text{last}$.\\
Input- og outputvektoren er vist i henholdsvis ligning \eqref{eq:inputvektor} og \eqref{eq:outputvektor}. Inputvektoren indeholder de to spændinger og outputvektoren indeholder, da der skal designes en hastighedsregulator, hastighederne $\dot{x}_\text{last}$ og $\dot{y}_\text{last}$.
\begin{IEEEeqnarray}{l}
\label{eq:tilstandsvektor}
\textbf{x} =
\begin{bmatrix}
\theta_\text{last} & \dot{\theta}_\text{last} & \dot{x}_\text{slæde} & \dot{l}_\text{s}
\end{bmatrix}^T\\
\label{eq:inputvektor}
\textbf{u} =
\begin{bmatrix}
u_\text{e,x} & u_\text{e,y}
\end{bmatrix} ^T\\
\label{eq:outputvektor}
\textbf{y} =
\begin{bmatrix}
\dot{x}_\text{last} & \dot{y}_\text{last}
\end{bmatrix} ^T
\end{IEEEeqnarray}
Dermed kan systemligningerne opstilles som ligningssystemet i \eqref{eq:systemligning}. Det fremgår af systemmatricen, at bevægelsen i $y-$retningen, udtrykt ved $\dot{l}_\text{s}$, ikke har relation med vinklen $\theta_\text{last}$, hvilket skyldes lineariseringen og dermed ikke er i fuld overensstemmelse med virkeligheden. 
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:systemligning}
\dot{\textbf{x}} &~=~&\textbf{Ax} + \textbf{Bu}\nonumber\\\hspace{-25pt}
\dot{\begin{bmatrix}
\theta_\text{last}\\ \dot{\theta}_\text{last}\\ \dot{x}_\text{slæde}\\ \dot{l}_\text{s}
\end{bmatrix}}
&=&
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
-\mathcal{K}_2 - \frac{\mathcal{K}_3 \cdot \mathcal{K}_6}{\mathcal{K}_4} & -\mathcal{K}_1 & \frac{\mathcal{K}_3 \cdot \mathcal{K}_5}{\mathcal{K}_4} & 0\\
\frac{\mathcal{K}_6}{\mathcal{K}_4} & 0 & -\frac{\mathcal{K}_5}{\mathcal{K}_4} & 0\\
0 & 0 & 0 & -\frac{\mathcal{K}_8}{\mathcal{K}_7}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\theta_\text{last}\\ \dot{\theta}_\text{last}\\ \dot{x}_\text{slæde}\\ \dot{l}_\text{s}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
-\frac{\mathcal{K}_3}{\mathcal{K}_4} & 0\\
\frac{1}{\mathcal{K}_4} & 0\\
0 & \frac{1}{\mathcal{K}_7}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_\text{e,x}\\ u_\text{e,y}
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
Outputligningerne kan desuden opstilles som ligningssystemet i \eqref{eq:outputligning}, hvorved kransystemet er bestemt på tilstandsform. Outputmatricen, \textbf{C}, er lavet ud fra den lineære geometriligningen fra ligning \eqref{eq:kran-lineargeo-linlasthas}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:outputligning}
\textbf{y} &~=~&\textbf{Cx} + \textbf{Du}\nonumber\\\hspace{-25pt}
\begin{bmatrix}
\dot{x}_\text{last}\\ \dot{y}_\text{last}
\end{bmatrix}
&=&
\begin{bmatrix}
0 & \bar{l}_\text{s} & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\theta_\text{last}\\ \dot{\theta}_\text{last}\\ \dot{x}_\text{slæde}\\ \dot{l}_\text{s}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_\text{e,x}\\ u_\text{e,y}
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray} 
Systemets poler kan bestemmes ved at finde egenværdierne for systemmatricen, som er løsningerne til det karakteristiske polynomium; $\det\left(\textbf{p}_\textbf{A} \textbf{I} - \textbf{A}\right) = 0$, hvor \textbf{p}$_\textbf{A}$ er en vektor indeholdende systemets poler. Løsningerne findes, ved brug af MATLAB-funktionen \textit{eig()}, til værdierne i ligning \eqref{eq:systemApoles}.
\begin{IEEEeqnarray}{rcl}
\label{eq:systemApoles}
\textbf{p}_\textbf{A} = 
\begin{bmatrix}
-0,1443 \pm 4,0852 j \\
-3,2439 \\
-3,7731
\end{bmatrix}
\end{IEEEeqnarray}
De fundne poler for systemet fortæller, at systemet er stabilt, da de alle er i venstre halvplan. Desuden fremgår det at svingningerne i vinklen, som er i relation med det komplekse polpar, har en lav dæmpning, grundet deres små realdele, hvilket passer overens med observationer af systemet.